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Konstruktion eines Automaten


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Determinisierung

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Hüllenbildung


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Kleene’sche Hülle


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Reguläre Ausdrücke


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Ausdrucksst¨arke


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Berechenbare Funktionen

                                               


       

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Turing-Maschine: Definition

                                               


           

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Konfigurationen

                                               


           

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Deterministische Automaten


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TIMI

Konstruktion eines Automaten


Beispiel: Menge L der Wörter, die 01 enthalten, also

 L ={u01v ; u,v ∈ {0,1}* }  

  • q0 Anfangszustand, noch keine 0 gelesen
  •  q1 0 gelesen, noch keine 1 
  • q2 01 gelesen, fertig


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Determinisierung

Ziel: für jeden NEA A gibt es einen äquivalenten DEA AD
Idee: 

  • zu jedem Zeitpunkt Menge von möglichen Zuständen S ⊆ Q 
  • |Q| endlich ->endlich viele Teilmengen 
  •  für S ⊆ Q und Eingabe a ist die Menge der möglichen Folgezustände eindeutig

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Exponentieller Blow-up

Sei Ln :={w ; w = u1v mit |v| = n − 1} .
Ln wird erkannt durch NEA An mit n + 1 Zuständen:


Jeder DEA, der Ln erkennt, hat mindestens 2n Zustände

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Hüllenbildung


Sei A = (Q,Σ,δ,q0,F) ein -NEA.
Für P ⊆ Q ist die ɛ -Hülle(P) induktiv definiert durch: 

  •  P ⊆ ɛ -Hülle(P) 
  • Ist p ∈ ɛ -Hülle(P) und q ∈ δ(p,), dann ist q ∈ ɛ -Hülle(P).


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Kleene’sche Hülle


Beispiel:
L = {01, 110} 

L∗ =, 01, 110, 0101, 01110, 11001, 010101, 110110, 0101110, 0111001, 1100101, 01010101, ... Eigenschaften: 

  • (L*)* = L*
  •  ∅* = {} 
  •  {}∗ = {} 
  • L* ist unendlich, außer in diesen 2 Fällen


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Reguläre Ausdrücke


Reguläre Ausdrücke und ihre Sprachen sind induktiv definiert: 

  • Konstanten  und ∅ sind reguläre Ausdrücke, mit L() = {} und L(∅) = ∅ 
  •  Für a ∈ Σ ist a ein regulärer Ausdruck, mit L(a) = {a}
  • Sind E,F reguläre Ausdrücke, dann auch (E + F), mit L(E + F) = L(E)∪L(F) 
  • Sind E,F reguläre Ausdrücke, dann auch (E ·F), mit L(E ·F) = L(E)·L(F) 
  • Ist E regulärer Ausdruck, dann auch E*, mit L(E*) = L(E)*


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Regeln zum Vereinfachen



  • Kommutativgesetz 
    • (R + S) = (S + R) 
  • Neutrale Elemente 
    • ∅+ R = R +∅ = R 
  • Absorption 
    • ∅R = R∅ = ∅ 
  • Distributivgesetze
    •  R(S + T) = RS + RT 
    • (S + T)R = SR + TR 
  • Gesetze über Kleene-Stern
    • (R*)* = R* 
    • ∅* =ɛ   
    • ɛ *=ɛ  


TIMI

Ausdrucksst¨arke


  • Regul¨are Ausdr¨ucke beschreiben genau die Sprachen, die von DEA (oder NEA, ɛ -NEA) erkannt werden.
  • F¨ur jeden regulären Ausdruck R gibt es einen ɛ -NEA AR mit L(AR) = L(R).
  • Für jeden NEA A gibt es einen regulären Ausdruck RA mit L(RA) = L(A).






TIMI

            

                                                           

Berechenbare Funktionen

                                               


       

            

                                                           

Eine (partielle) Funktion f : Nk → N ist berechenbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der

                       

- bei Eingabe von (n1, . . . , nk ) genau dann terminiert, wenn f(n1,...,nk) definiert ist,

                       

- und dann den Wert f(n1,...,nk) ausgibt.

                                               


           

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Turing-Maschine: Definition

                                               


           

            

                                                           

Eine deterministische Turing-Maschine (DTM) M mit Alphabet Σ besteht aus:

                       

-Zust ̈ande Q
-Bandalphabet Γ ⊇ Σ
-Leerzeichen 􏰓 ∈ Γ \ Σ
-U ̈bergangsfunktion δ:Q×Γ→Q×Γ×{L,R}                          

-Anfangszustand q0 ∈ Q 

-Endzust ̈ande F ⊆ Q

                       

Kurzschreibweise:   

M = (Q,Σ,Γ,􏰓,δ,q0,F)

                                               


           

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Konfigurationen

                                               


           

Eine Konfiguration α von M ist eine Zeichenkette 

α = a1a2 ...ai−1 q aiai+1 ...an

                       

mit ai ∈ Γ fu ̈r i ≤ n und q∈Q.                  

Interpretation:
-M ist in Zustand q
-Der Kopf ist auf Bandzelle i, in der ai steht
- a1a2 ...ai−1 ist der Bandinhalt links vom Kopf 

- Links von a1 sind nur 􏰓 auf dem Band
- ai +1 . . . an ist der Bandinhalt rechts vom Kopf 

- Rechts von an sind nur 􏰓 auf dem Band

 

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Deterministische Automaten


Ein deterministischer endlicher Automat (DEA) A mit Alphabet Σ besteht aus:

  • Zustände Q (endlich viele!) 
  • Übergangsfunktion δ : Q ×Σ→Q 
  • Anfangszustand q0 ∈ Q 
  • Endzustände F ⊆ Q
    Kurzschreibweise: A = (Q,Σ,δ,q0,F)


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