Lineare Algebra at Karlsruher Institut für Technologie

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(logischen) Aussage

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Verknüpfung von Aussagen

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Implikation von A nach B und Äquivalenz von A und B

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Tautologien (Für beliebige Aussagen A,B,C sind die folgen-
den Aussagen stets wahr)

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Kontrapositionsprinzip

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Beweises durch Widerspruch

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Definition 1.3.1. Eine Relation

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Definition 1.3.2. Eine Funktion oder Abbildung

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Bild von A

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Urbild von B

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Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

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Injektivität

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Lineare Algebra

(logischen) Aussage

Ausdruck, von dem eindeutig bestimmt ist, ob er wahr oder falsch ist

Lineare Algebra

Verknüpfung von Aussagen

Seien A und B zwei Aussagen.
(a) Die Aussage (¬A) ist die Aussage „Die Aussage A ist falsch.“ und heißt die Negation von A.

(b) Die Aussage (A ∧ B) ist die Aussage „Die Aussage A ist wahr und die Aussage B ist wahr.“ und heißt die Konjunktion von A und B.

(c) Die Aussage (A ∨ B) ist die Aussage „Mindestens eine der beiden Aussagen A und B ist wahr.“ Sie heißt die (nicht-exklusive) Disjunktion von A und B.

Lineare Algebra

Implikation von A nach B und Äquivalenz von A und B

(A ⇒ B) :⇔ ((¬A) ∨ B)

(A ⇔ B) :⇔ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A))

Lineare Algebra

Tautologien (Für beliebige Aussagen A,B,C sind die folgen-
den Aussagen stets wahr)

(i) A ⇒ A (oder anders ausgedrückt, A ∨ (¬A)). (Tertium non datur.)
(ii) ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C). (Transitivität)
(iii) (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) und (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C). (Assoziativität)
(iv) (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A) und (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A). (Kommutativität)
(v) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) und A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). (Distributivität)
(vi) (B⇒C)⇒ ((A ∧ B) ⇒ (A ∧ C)). (Monotonie)
(vii) (¬(A ∧ B)) ⇔ ((¬A) ∨ (¬B)) und (¬(A ∨ B)) ⇔ ((¬A) ∧ (¬B)). (de Morgansche3 Regeln)
(viii) (¬(¬A)) ⇔ A. (doppelte Negation)

Lineare Algebra

Kontrapositionsprinzip

Für beliebige Aussagen A und B gilt
(A ⇒ B) ⇔((¬B) ⇒(¬A))

Lineare Algebra

Beweises durch Widerspruch

Hier nimmt man an, dass sowohl A als auch ¬B gelten, und versucht daraus eine falsche Aussage herzuleiten. Wenn dies gelingt, so können nicht A und ¬B zugleich gelten; wegen des „Tertium non datur.“ folgt daraus ebenfalls die Aussage A ⇒B

Lineare Algebra

Definition 1.3.1. Eine Relation

Eine Relation zwischen zwei Mengen M und N ist eine Teilmenge R ⊆ M×N. Ist (m, n) ∈ R so sagt man auch „m ist R-verwandt zu n“ und schreibt mRn.

Lineare Algebra

Definition 1.3.2. Eine Funktion oder Abbildung

Eine Funktion oder Abbildung ist ein Tripel (M,N, f) bestehend aus zwei Mengen M und N und einer Zuordnungsvorschrift f, die jedem m ∈ M ein eindeutiges Element f(m) ∈ N zuordnet. M heißt dann Definitionsbereich der Funktion, N heißt ihr Wertebereich und (M,N, f) heißt eine Funktion von M nach N. Die Relation 

gr(f) := {(m, n) ∈ M×N | n = f(m)} ⊆ M×N

heißt der Graph der Funktion.

Lineare Algebra

Bild von A

Ist A ⊆M, so heißt f(A) := {n ∈ N | ∃a ∈ A : f(a) = n} das Bild von A

Seien V und W 𝕂-Vektorräume und Φ ∈ Hom_𝕂(V,W).

Bild(Φ) ist ein Unterraum von W.

Lineare Algebra

Urbild von B

Ist B⊆N, so heißt f−1(B) := {m∈M | f(m) ∈B} das Urbild von B

Lineare Algebra

Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

Ist A ⊆ M (bzw. Bild(M,N, f) ⊆ B ⊆ N), so heißt die Funktion f|ₐ : A→N, a ↦ f(a) (bzw. f|ᴮ : M→B, m↦ f(m)) die Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

Lineare Algebra

Injektivität

Eine Funktion f : M→N heißt injektiv, falls für alle m₁, m₂ ∈ M gilt : (f(m₁) = f(m₂)) ⇒(m₁ = m₂)


f ist injektiv, wenn man m eindeutig daran erkennen kann, was f(m) ist, d.h. für jedes n ∈ N gibt es höchstens ein m mit f(m) = n. Formaler gesagt, ∀n ∈ N : |f ⁻¹({n})| ≤ 1.


Sei Φ:V →W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und q:=dim(V) und p:=dim(W).

(f ist injektiv) ⇔ (∃ g: N→M mit g◦ f = Idₘ). ⟺ Φ ist Epimorphismus ⟹ q ≤ p



Φ ist injektiv ⟺ Φ_B ist injektiv und Bild(Φ_B) ist linear unabhängig.

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