Sozialwissenschaftliche Statistik at IUBH Internationale Hochschule

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Erkläre Modus

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Was ist die Pearson-Korrelation?

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Stichprobenvarianz und Populationsvarianz

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Was sind Lagemaße?

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Erkläre den Median

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Was sind Streuungsmaße?

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Erkläre den Mittelwert und nenne ein Beispiel

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Gerade Anzahl von Werten

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Ausreißer, fehlerhafte Werte, ungünstige univariate Verteilungen

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Invarianz

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Was sind Korrelationskoeffizienten?

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Priors, Likelihoods und Posteriors

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Sozialwissenschaftliche Statistik

Erkläre Modus

Bei nominalskalierten Daten lässt sich nur prüfen, ob zwei Werte gleich sind oder sich
unterscheiden. Die Ordnung nach Größe oder die Berechnung des Abstandes ist nicht
möglich. Der Modus (=Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert) (auch
Modalwert genannt) ist der Wert, den man am wahrscheinlichsten erhält, wenn man zufällig
einen Wert aus der Wertemenge zieht. Je nachdem, ob es nur einen, zwei oder mehrere
Modalwerte gibt, spricht man von unimodalen, bimodalen oder multimodalen Verteilungen.

Sozialwissenschaftliche Statistik

Was ist die Pearson-Korrelation?

Sind beide Merkmale intervallskaliert, lassen sich die Abstände berechnen und somit können mehrere Informationen für die Berechnung des Zusammenhangs verwendet werden. Mithilfe der Kovarianz (=Diese beschreibt die durchschnittliche Abweichung eines Wertepaares von den Mittelwerten der beiden Merkmale) wird die gemeinsame Variation von zwei Merkmalen beschrieben.

Sozialwissenschaftliche Statistik

Stichprobenvarianz und Populationsvarianz

Merke: Grundsätzlich kann man zwischen Stichprobenvarianz (s2) und Populationsvarianz (σ2, kleines Sigma) unterscheiden, die mathematisch leicht voneinander abweichen. Bei der Stichprobenvarianz (s2) wird die Summe der quadratischen Abweichungen durch n-1 geteilt, bei der Populationsvarianz (σ2) durch n. Allerdings spielt dies in der Praxis eine
untergeordnete Rolle.

Sozialwissenschaftliche Statistik

Was sind Lagemaße?

Die Lagemaße oder auch Maße der zentralen Tendenz geben den „zentralen Wert“ einer
Wertemenge an, der diese am besten repräsentieren soll. Dadurch beschreibt ein Lagemaß
die Datenmenge mit einer einzigen Kennzahl, unabhängig davon, ob dem Lagemaß fünf oder
50 Millionen Werte zugrunde liegen.

Sozialwissenschaftliche Statistik

Erkläre den Median

In psychologischen Fragebögen wird oft die sogenannte Ratingskala eingesetzt. Dabei
werden Aussagen anhand mehrerer vorgegebener Merkmalsausprägungen beurteilt. Die
Abstände zwischen zwei Ausprägungen sind dabei jedoch oft nicht bestimmbar.
Beispielsweise könnte eine Ratingskala die Ausprägungen „nie“, „selten“, „manchmal“ und
„oft“ enthalten.
Die Bewertung „selten” ist quantitativ gesehen zwar immer weniger als „oft”, der Abstand
lässt sich in diesem Falle aber nicht bestimmen. Zudem legt jede Person diese Begriffe
anders aus, sodass ein „oft” einer Person quantitativ gesehen einem „manchmal” einer
anderen Person entspricht. Auch wenn grundsätzlich davon auszugehen ist, dass

Ratingskalen nicht intervallskaliert sind, lassen sich manche dennoch als intervallskaliert
auswerten.

Für derart ordinalskaliert vorliegende Daten ergibt die Berechnung des Mittelwertes streng
genommen keinen Sinn. Stattdessen ist der Median (=Alle Werte werden der Größe nach
sortiert. Der Wert in der Mitte dieser Rangfolge ist der Median. Unter dem Median liegen
genauso viele Werte wie über dem Median) zu berechnen, dem nur der Größenvergleich
und nicht die Bestimmung des Abstandes zugrunde liegt. In der Praxis wird jedoch trotzdem
oft der Mittelwert bei ordinalskalierten Daten angegeben, vermutlich weil er für intuitiv
verständlicher gehalten wird und „per Hand“ schneller zu berechnen ist als der Median.

Der Median lässt sich auch bei höheren Skalenniveaus bzw. bei Intervallskalenniveaus
berechnen, da grundsätzlich die Operationen der vorhergehenden Skalenniveaus
übernommen werden.

Sozialwissenschaftliche Statistik

Was sind Streuungsmaße?

Die Lagemaße geben zwar den einen Wert an, der die Datenmenge punktuell am besten
beschreibt, allerdings kann die zugrunde liegende Werteverteilung aufgrund der Invarianz der Lagemaße sehr unterschiedlich ausfallen. Um diesem Problem Rechnung zu tragen, werden zur Beschreibung der Werteverteilung zusätzlich Streuungsmaße (auch Dispersionsmaße genannt) angegeben. Diese stellen ein Maß für die Variabilität der Daten
dar.

Sozialwissenschaftliche Statistik

Erkläre den Mittelwert und nenne ein Beispiel

Das im Alltag wohl bekannteste Lagemaß ist der Mittelwert (MW) (=Der Mittelwert
berechnet sich als die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl aller Werte). Damit ist im
Allgemeinen sowie in der Psychologie das arithmetische Mittel gemeint.

Angenommen ein Dekan möchte wissen, wie alt die Studierenden seiner Fakultät beim
Studienabschluss waren. Um dies zu bestimmen, könnte zum Beispiel das Alter bei
Studienabschluss aller Studierenden der letzten drei Jahre erhoben werden. Wurden nun die
Angaben von 100 Studierenden erfasst, lässt sich daraus nicht direkt eine Aussage ableiten.

Mithilfe des Mittelwertes lässt sich genau eine Kennzahl berechnen und angeben, die die
100 Einzelwerte repräsentiert. Der Mittelwert beträgt im Beispiel 23,75 Jahre und gibt
verständlich Auskunft darüber, wie alt die Studierenden im Mittel waren. Die Komplexität
von 100 Einzelwerten wird also auf einen Wert reduziert, der einfach verglichen und
kommuniziert werden kann.
Das Alter wurde im vorliegenden Beispiel als Zeit in Jahren erfasst. Es wäre jedoch auch
möglich und je nach Kontext durchaus üblich, das Alter nur in Altersgruppen zu erfassen. Die
Studierenden hätten zum Beispiel auch folgenden Gruppen zugeordnet sein können: „unter
20”, „20–24”, „25–29” und „über 29”. Am tatsächlichen Alter der Studierenden ändert sich
dadurch nichts, aber die erfassten Daten enthalten dann weniger Informationen über die
Wirklichkeit.
Für jedes erhobene Merkmal muss daher das Skalenniveau bestimmt werden bzw. bekannt
sein. Danach lässt sich entscheiden, welche Rechenoperationen zulässig sind und welche
Kennzahlen sinnvoll berechnet werden können. Für die Auswertung von Stichproben in der
sozialwissenschaftlichen Statistik werden die Skalenniveaus (=Gibt die Menge an
Informationen an, die in den gemessenen Daten enthalten sind) nominal, ordinal und
intervall unterschieden. Die noch mehr Informationen enthaltende Verhältnisskala
(Ratioskala) wird für Auswertungen in den Sozialwissenschaften nicht benötigt. In der
Literatur und in Statistik-Softwarepaketen werden die Intervall- und Verhältnisskala daher
auch unter der Bezeichnung „metrisch” zusammengefasst.
Auf dem einfachsten Skalenniveau (nominal) lässt sich nur prüfen, ob zwei Daten (un-)gleich
sind (zb. Parteizugehörigkeit, Geschlecht, Wohnort). Das nächsthöhere Skalenniveau
(ordinal) ermöglicht zusätzlich die Ordnung der Merkmale nach Größe (zb. Ranglisten,
unspezifische Häufigkeiten wie „nie“, „selten“, „oft“ oder subjektive Einschätzungen wie

Das Alter (in Jahren) liegt im obigen Beispiel intervallskaliert vor. Eine Einteilung in
Altersgruppen wäre ordinalskaliert. Ein Forschungsdatensatz enthält üblicherweise eine
Mischung aus nominal-, ordinal- und intervallskalierten Daten. Darüber hinaus lassen sich
nachträglich höhere Skalenniveaus auf niedrigere Skalenniveaus reduzieren: intervall ->
ordinal -> nominal.
Hierbei kommt es in der Regel zu einem Informationsverlust. Dies zeigt sich am Beispiel der
Altersangaben in Jahren, wenn man diese den oben genannten Gruppen zugeordnet. Zuvor
unterschiedlich erfasste Studierende (zb. 22 Jahre, 23 Jahre) gehören anschließend zur
selben Kategorie „20-24“ und lassen sich dann nicht mehr unterscheiden
(=Informationsverlust).

Sozialwissenschaftliche Statistik

Gerade Anzahl von Werten

Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Median eindeutig bestimmbar und immer ein
Element der Daten. Wenn jedoch eine gerade Anzahl von Werten vorliegt, wird entweder
wie obigen Beispiel der Mittelwert der beiden mittleren Werte berechnet oder es wird einer
der beiden mittleren Werte ausgewählt.

Sozialwissenschaftliche Statistik

Ausreißer, fehlerhafte Werte, ungünstige univariate Verteilungen

In der Praxis stellt sich oft das Problem, dass die Daten vor der Auswertung aus
verschiedenen Quellen zusammengetragen werden müssen. Manche Angaben liegen digital vor, andere in Form von Fragebögen oder Notizen. Diese Daten müssen dann per Hand in die eigentliche Datentabelle übertragen werden. Dabei treten oft Fehler auf (z. B. Tippfehler, Verrutschen in der Spalte), die nicht anhand der berechneten Kennzahlen erfasst werden können. Zwar sind einige Kennzahlen wie der Median invariant gegenüber einzelnen Fehlern, aber bei weiteren Berechnungen würden diese das Ergebnis dennoch verzerren. Mithilfe des Boxplots lassen sich Einzelwerte erkennen, die ungewöhnlich weit von der
Mehrheit der anderen Werte entfernt sind. Ob es sich tatsächlich um einen Übertragungsfehler oder einen ungewöhnlichen, aber tatsächlich erhobenen Wert handelt, muss fallweise entschieden werden.


Sozialwissenschaftliche Statistik

Invarianz

Der Median einer Wertemenge verändert sich nicht, sofern die Anzahl der Werte unterhalb
und oberhalb des Medians gleichbleibt. Ein und derselbe Median kann folglich bei beliebig
vielen Wertemengen auftreten.

Sozialwissenschaftliche Statistik

Was sind Korrelationskoeffizienten?

Liegen die Daten mindestens auf Ordinalskalen Niveau vor, lassen sich sogenannte Korrelationskoeffizienten zur Beschreibung der Zusammenhänge berechnen. Diese können ebenfalls einen Wert von -1 bis +1 annehmen. Für die Berechnung der Rangkorrelation nach
Spearman (kurz Spearman-Korrelation) müssen die Merkmale mindestens ordinalskaliert sein. Handelt es sich um intervallskalierte Daten, stehen die Produkt-Moment-Korrelation nach Pearson (kurz Pearson-Korrelation) zur Verfügung.

Sozialwissenschaftliche Statistik

Priors, Likelihoods und Posteriors

Anhand der Beispiel wurde bereits deutlich, wie aus einer anfänglichen
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Hypothesen (P(θ), Priorverteilung) mithilfe der Auftretenswahrscheinlichkeit der Daten (P(D|θ), Likelihoods) eine neue Wahrscheinlichkeitsverteilung der Hypothesen (P(θ|D), Posteriorverteilung) entsteht.

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