Mathematik Grundlagen 1 (Lektion3) at IU Internationale Hochschule | Flashcards & Summaries

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TESTE DEIN WISSEN

Definition: Implikation 

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Seien A und B Aussagen. Die Implikation (auch wenn-dann-Verknüpfung oder Subjunktion genannt) von A und B wird geschrieben als A ⇒ B. Ausgesprochen wird dies „aus A folgt B“ oder „A impliziert B“.

A ⇒ B ist genau dann (und nur dann) falsch, wenn A wahr und B falsch ist (denn aus einer wahren Aussage kann keine falsche Aussage folgen).

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Definition: Logische Äquivalenz von Aussagen

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Seien A und B Aussagen. A und B heißen logisch äquivalent, wenn sie denselben Wahrheitswert besitzen. Man schreibt dafür A ≡ B und sagt „A ist logisch äquivalent zu B“.

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Was ist der unteschied zwischen = und ≡ ?

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Seien A1 und A2 Aussagen mit A1≔ „7 ist eine ungerade Zahl“ und A2≔ „Nachts ist es dunkel“. Die Aussagen sind inhaltlich verschieden, es ist also A1 ≠ A2. Dennoch sind A1 und A2 aussagenlogisch äquivalent (denn beide sind wahr), es gilt also A1 ≡ A2

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Definition: Konjunktion 


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Seien A und B Aussagen. Die Konjunktion (auch und-Verknüpfung genannt) von A und B wird geschrieben als A ∧ B oder A AND B oder (abgekürzt) AB. Ausgesprochen wird dies „A und B“.

A ∧ B ist genau dann (und nur dann) wahr, wenn beide Aussagen A und B wahr sind. Ist mindestens eine der Aussagen falsch, so ist auch A ∧ B falsch.

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Definition: Disjunktion


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Seien A und B Aussagen. Die Disjunktion (auch oder-Verknüpfung genannt) von A und B wird geschrieben als A ∨ B oder A OR B. Ausgesprochen wird dies „A oder B“.

A ∨ B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist. Nur wenn beide Aussagen falsch sind, ist auch A ∨ B falsch.

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Definition: Negation 


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Sei A eine Aussage. Die Negation (auch nicht-Verknüpfung genannt) von A wird geschrieben als ¬A oder NOT A oder . Ausgesprochen wird dies „nicht A“.

¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist und genau dann falsch, wenn A wahr ist.

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Definition: Bijunktion

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Seien A und B Aussagen. Die Äquivalenz (auch genau-dann-wenn-Verknüpfung oder Bijunktion genannt) von A und B wird geschrieben als A ⇔ B. Ausgesprochen wird dies „A genau dann wenn B“ oder „A äquivalent B“.

A ⇔ B ist genau dann falsch, wenn eine der beiden Aussagen wahr und die andere Aussage falsch ist. Andernfalls, also wenn beide Aussagen wahr oder beide Aussagen falsch sind, ist A ⇔ B wahr.

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TESTE DEIN WISSEN

Unterscheide atomare Ausdrücke und zusammengesetzte Ausdrücke.

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TESTE DEIN WISSEN

Beispiel: A

A ist eine (sehr einfache) aussagenlogische Formel, in der nur die Variable A und keine logischen Operatoren vorkommen. Wir nennen solche Ausdrücke atomar. Formeln, in denen hingegen mindestens ein logischer Operator vorkommt, heißen zusammengesetzt (z.B. A ^ B).

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Sortiere die Bindungsstärken von logischen Operatoren von stark nach schwach.

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1. ¬ 

2. ∧ 

3. ∨ 

4. ⇒ 

5. ⇔ 

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Wie werden logische Operatoren noch genannt?

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Junktor oder Verknüpfung

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Definition: Tautologie 


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Ein aussagenlogischer Ausdruck, der unabhängig von der Belegung der darin vorkommenden Variablen immer wahr ist, heißt Tautologie. 


Bsp:

  1. Sei T :=true. Dann ist T eine Tautologie, denn T ist immer wahr.
  2. Sei A ein aussagenlogischer Ausdruck. Dann ist A ∨ ¬A eine Tautologie.
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Definition: Logische Aussage

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Eine logische Aussage (oder kurz Aussage) ist ein Satz, für den entscheidbar ist, ob er wahr oder falsch ist.

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Q:

Definition: Implikation 

A:

Seien A und B Aussagen. Die Implikation (auch wenn-dann-Verknüpfung oder Subjunktion genannt) von A und B wird geschrieben als A ⇒ B. Ausgesprochen wird dies „aus A folgt B“ oder „A impliziert B“.

A ⇒ B ist genau dann (und nur dann) falsch, wenn A wahr und B falsch ist (denn aus einer wahren Aussage kann keine falsche Aussage folgen).

Q:

Definition: Logische Äquivalenz von Aussagen

A:

Seien A und B Aussagen. A und B heißen logisch äquivalent, wenn sie denselben Wahrheitswert besitzen. Man schreibt dafür A ≡ B und sagt „A ist logisch äquivalent zu B“.

Q:

Was ist der unteschied zwischen = und ≡ ?

A:

Seien A1 und A2 Aussagen mit A1≔ „7 ist eine ungerade Zahl“ und A2≔ „Nachts ist es dunkel“. Die Aussagen sind inhaltlich verschieden, es ist also A1 ≠ A2. Dennoch sind A1 und A2 aussagenlogisch äquivalent (denn beide sind wahr), es gilt also A1 ≡ A2

Q:

Definition: Konjunktion 


A:

Seien A und B Aussagen. Die Konjunktion (auch und-Verknüpfung genannt) von A und B wird geschrieben als A ∧ B oder A AND B oder (abgekürzt) AB. Ausgesprochen wird dies „A und B“.

A ∧ B ist genau dann (und nur dann) wahr, wenn beide Aussagen A und B wahr sind. Ist mindestens eine der Aussagen falsch, so ist auch A ∧ B falsch.

Q:

Definition: Disjunktion


A:

Seien A und B Aussagen. Die Disjunktion (auch oder-Verknüpfung genannt) von A und B wird geschrieben als A ∨ B oder A OR B. Ausgesprochen wird dies „A oder B“.

A ∨ B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist. Nur wenn beide Aussagen falsch sind, ist auch A ∨ B falsch.

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Q:

Definition: Negation 


A:

Sei A eine Aussage. Die Negation (auch nicht-Verknüpfung genannt) von A wird geschrieben als ¬A oder NOT A oder . Ausgesprochen wird dies „nicht A“.

¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist und genau dann falsch, wenn A wahr ist.

Q:

Definition: Bijunktion

A:

Seien A und B Aussagen. Die Äquivalenz (auch genau-dann-wenn-Verknüpfung oder Bijunktion genannt) von A und B wird geschrieben als A ⇔ B. Ausgesprochen wird dies „A genau dann wenn B“ oder „A äquivalent B“.

A ⇔ B ist genau dann falsch, wenn eine der beiden Aussagen wahr und die andere Aussage falsch ist. Andernfalls, also wenn beide Aussagen wahr oder beide Aussagen falsch sind, ist A ⇔ B wahr.

Q:

Unterscheide atomare Ausdrücke und zusammengesetzte Ausdrücke.

A:

Beispiel: A

A ist eine (sehr einfache) aussagenlogische Formel, in der nur die Variable A und keine logischen Operatoren vorkommen. Wir nennen solche Ausdrücke atomar. Formeln, in denen hingegen mindestens ein logischer Operator vorkommt, heißen zusammengesetzt (z.B. A ^ B).

Q:

Sortiere die Bindungsstärken von logischen Operatoren von stark nach schwach.

A:

1. ¬ 

2. ∧ 

3. ∨ 

4. ⇒ 

5. ⇔ 

Q:

Wie werden logische Operatoren noch genannt?

A:

Junktor oder Verknüpfung

Q:

Definition: Tautologie 


A:

Ein aussagenlogischer Ausdruck, der unabhängig von der Belegung der darin vorkommenden Variablen immer wahr ist, heißt Tautologie. 


Bsp:

  1. Sei T :=true. Dann ist T eine Tautologie, denn T ist immer wahr.
  2. Sei A ein aussagenlogischer Ausdruck. Dann ist A ∨ ¬A eine Tautologie.
Q:

Definition: Logische Aussage

A:

Eine logische Aussage (oder kurz Aussage) ist ein Satz, für den entscheidbar ist, ob er wahr oder falsch ist.

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