L5 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen at IU Internationale Hochschule | Flashcards & Summaries

Lernmaterialien für L5 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen an der IU Internationale Hochschule

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TESTE DEIN WISSEN
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

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TESTE DEIN WISSEN
Bei der t-Verteilung handelt es sich um eine Familie von stetigen, zum Nullpunkt symmetrischen Verteilungen, die mit einem Parameter beschrieben werden können
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TESTE DEIN WISSEN
Welche sind die drei bedeutendsten symmetrischen Intervalle?
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TESTE DEIN WISSEN
Intervallwahrscheinlichkeit
  • von 90 % —> z-Wert z0,9 = 1,645
  • von 95 % —> z-Wert z0,95 = 1,96
  • von 99 % —> z-Wert z0,99 = 2,575
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TESTE DEIN WISSEN
Gegeben sei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?


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TESTE DEIN WISSEN
Auf das symmetrische Intervall [-1,645; 1,645] entfallen 90% der Werte
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TESTE DEIN WISSEN
Worin unterscheidet sich die t-Verteilung von der Standardnormalverteilung
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TESTE DEIN WISSEN
—> die zugehörigen t-Werte sind abhängig von den Freiheitsgraden und variieren

Beispiel
  •  für das 95 % Intervall gibt es nicht nur einen t 0,95 Wert, sondern n - 1 verschiedene
  • bei der Standardnormalverteilung gibt es für ein symmetrisches Intervall nur einen Wert z 0,95 = 1,96
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TESTE DEIN WISSEN
Für eine hinreichend hohe Zahl von Freiheitsgrade (n > 100)….
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TESTE DEIN WISSEN
Können die Quantile der t-Verteilung nicht mehr berechnet werden
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TESTE DEIN WISSEN
Welche Rechenregeln gelten bei der Standardnormalverteilung um Intervall Wahrscheinlichkeiten zu berechnen?
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TESTE DEIN WISSEN
P (Z <= z) = F St (z) 
P (Z > z) = 1- F St (z) 
P (a < Z <= b) = F St (b) - F St (a) 
F St (-z) = 1 - F St (+z) 

—> Gelten nicht für normalverteilte Zufallsvariablen
—> Deshalb z – Transformation nötig
—> dadurch werden normalverteilte Zufallsvariablen X in standardnormalverteilte Zufallsvariablen Y umgerechnet 
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TESTE DEIN WISSEN
Was ist die Normalverteilung?  Wodurch ist diese bestimmt?
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TESTE DEIN WISSEN
= eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, damit können stetige Zufallsvariablen charakterisiert werden

  • Wird wie alle stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auch durch eine Dichtefunktion und dazugehörige Verteilungsfunktion charakterisiert
  • normalverteilte Zufallsvariable = X
  • ist symmetrisch zu ihrem Erwartungswert

  • es gibt nicht eine einzige Normalverteilung sondern viele verschiedene Normalverteilung
  • jede Normalverteilung ist charakterisiert durch den Erwartungswert und die Standardabweichung von X
—> Erwartungswert E (X) = mü
—> Standardabweichung O (X) = o > Null
—> symbolschreibweise N (mü, o) = Zufallsvariable X ist normalverteilt


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TESTE DEIN WISSEN
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
Die Normalverteilung…
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TESTE DEIN WISSEN
Ist symmetrisch zu ihrem Erwartungswert
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TESTE DEIN WISSEN
Die t-Verteilung…
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TESTE DEIN WISSEN
Wird durch einen einzigen Parameter hinreichend charakterisiert
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TESTE DEIN WISSEN
Beim Werfen eines Würfels haben die möglichen Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils die Wahrscheinlichkeit von 16,67%. Wie nennt man die Zuordnung dieser Wahrscheinlichkeiten zu den jeweiligen Ausprägungen der Zufallsvariablen?
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TESTE DEIN WISSEN
Wahrscheinlichkeitsfunktion 
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TESTE DEIN WISSEN
Durch welche Parameter kann eine beliebige Normalverteilung beschrieben werden?


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TESTE DEIN WISSEN
Erwartungswert, Varianz
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TESTE DEIN WISSEN
Betrachtet sei eine normalverteilte Zufallsvariable X. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
(Normalverteilung immer stetig)


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TESTE DEIN WISSEN
Für jeden positiven Einzelwert x gilt P(X=x)>0
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Q:
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

A:
Bei der t-Verteilung handelt es sich um eine Familie von stetigen, zum Nullpunkt symmetrischen Verteilungen, die mit einem Parameter beschrieben werden können
Q:
Welche sind die drei bedeutendsten symmetrischen Intervalle?
A:
Intervallwahrscheinlichkeit
  • von 90 % —> z-Wert z0,9 = 1,645
  • von 95 % —> z-Wert z0,95 = 1,96
  • von 99 % —> z-Wert z0,99 = 2,575
Q:
Gegeben sei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?


A:
Auf das symmetrische Intervall [-1,645; 1,645] entfallen 90% der Werte
Q:
Worin unterscheidet sich die t-Verteilung von der Standardnormalverteilung
A:
—> die zugehörigen t-Werte sind abhängig von den Freiheitsgraden und variieren

Beispiel
  •  für das 95 % Intervall gibt es nicht nur einen t 0,95 Wert, sondern n - 1 verschiedene
  • bei der Standardnormalverteilung gibt es für ein symmetrisches Intervall nur einen Wert z 0,95 = 1,96
Q:
Für eine hinreichend hohe Zahl von Freiheitsgrade (n > 100)….
A:
Können die Quantile der t-Verteilung nicht mehr berechnet werden
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Q:
Welche Rechenregeln gelten bei der Standardnormalverteilung um Intervall Wahrscheinlichkeiten zu berechnen?
A:
P (Z <= z) = F St (z) 
P (Z > z) = 1- F St (z) 
P (a < Z <= b) = F St (b) - F St (a) 
F St (-z) = 1 - F St (+z) 

—> Gelten nicht für normalverteilte Zufallsvariablen
—> Deshalb z – Transformation nötig
—> dadurch werden normalverteilte Zufallsvariablen X in standardnormalverteilte Zufallsvariablen Y umgerechnet 
Q:
Was ist die Normalverteilung?  Wodurch ist diese bestimmt?
A:
= eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, damit können stetige Zufallsvariablen charakterisiert werden

  • Wird wie alle stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auch durch eine Dichtefunktion und dazugehörige Verteilungsfunktion charakterisiert
  • normalverteilte Zufallsvariable = X
  • ist symmetrisch zu ihrem Erwartungswert

  • es gibt nicht eine einzige Normalverteilung sondern viele verschiedene Normalverteilung
  • jede Normalverteilung ist charakterisiert durch den Erwartungswert und die Standardabweichung von X
—> Erwartungswert E (X) = mü
—> Standardabweichung O (X) = o > Null
—> symbolschreibweise N (mü, o) = Zufallsvariable X ist normalverteilt


Q:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
Die Normalverteilung…
A:
Ist symmetrisch zu ihrem Erwartungswert
Q:
Die t-Verteilung…
A:
Wird durch einen einzigen Parameter hinreichend charakterisiert
Q:
Beim Werfen eines Würfels haben die möglichen Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils die Wahrscheinlichkeit von 16,67%. Wie nennt man die Zuordnung dieser Wahrscheinlichkeiten zu den jeweiligen Ausprägungen der Zufallsvariablen?
A:
Wahrscheinlichkeitsfunktion 
Q:
Durch welche Parameter kann eine beliebige Normalverteilung beschrieben werden?


A:
Erwartungswert, Varianz
Q:
Betrachtet sei eine normalverteilte Zufallsvariable X. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
(Normalverteilung immer stetig)


A:
Für jeden positiven Einzelwert x gilt P(X=x)>0
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