1. Mathematische Grundlagen at IU Internationale Hochschule | Flashcards & Summaries

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TESTE DEIN WISSEN

Worte am Ende um Beweis abzuschließen?

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TESTE DEIN WISSEN
  • „quod erat demonstrandum“
    (q.e.d.)

  • aus lat. „was zu beweisen war“.

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Zeichen für „Beweis vollständig abgeschlossen“?

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TESTE DEIN WISSEN

Wie wird A ⇒ B ausgesprochen?

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  • „A impliziert B“ oder „aus A folgt B“ oder „wenn A, dann B“ 

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Beweis durch Widerspruch?

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TESTE DEIN WISSEN
  • indirekter Beweis, basierend auf Gesetzen der Logik
  • Es gelte Voraussetzung A und man nimmt an, B sei falsch
  • man zeigt Annahme B sei falsch, nicht stimmen kann -> B muss richtig sein
  • stützen sich: aus wahren Aussage A kann niemals falsche Aussage B folgen
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TESTE DEIN WISSEN

Aufzählen von 5 Beweistechniken

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TESTE DEIN WISSEN
  • Direkter Beweis
  • Beweis durch Widerspruch 
  • Beweis durch Kontraposition
  • Ringschluss
  • Beweis durch vollständige Induktion
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TESTE DEIN WISSEN

Beweis durch Kontraposition?

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TESTE DEIN WISSEN
  • man führt einen Beweis für den negierten Ausdruck

  •  aus der Aussage „nicht B“ folgt die Aussage „nicht A“ 

  • ¬B ⇒ ¬A  und ist logisch äquivalent zu A ⇒ B

  • man nimmt an, dass ¬B gilt, und folgert daraus die Richtigkeit von ¬A

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  • abkürzende Schreibweise für „und“
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  • abkürzende Schreibweise für „oder“
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Wertebereich einer Variablen? Wie wird dieser dargestellt?
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 Lösungshinweis
    Element aus ...

Kurze Lösung
Werte einer Variablen, x ∈ M

Ausführliche Lösung
Der Wertebereich einer Variablen bestimmt, welche Werte diese Variable annehmen kann. Um auszudrücken, dass eine Variable x nur Zahlen einer bestimmten Zahlenmenge spei- chern kann, verwenden wir die Notation x ∈ M, wobei M für eine der oben genannten Zahlenmengen steht.

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TESTE DEIN WISSEN
Was versteht man unter einer Variablen?
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 Lösungshinweis
    Kleinbuchstaben

Kurze Lösung
Platzhalter

Ausführliche Lösung
Hierbei handelt es sich um einen Platzhalter, der bestimmte Werte annehmen kann und für den häufig Kleinbuchstaben verwendet werden.
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Worin besteht der Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen?
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 Lösungshinweis
    Q, R

Kurze Lösung
Rationale Zahlen als Teil der reellen Zahlen

Ausführliche Lösung
Rationale Zahlen (Q) sind alle Zahlen, die sich als Bruch p/q
mit einer ganzen Zahl p und einer natürlichen Zahl q darstellen lassen.
Reelle Zahlen (R) umfassen die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und sämtliche Zahlen mit Nachkommastellen.
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TESTE DEIN WISSEN

Erläutern Sie, was man unter einem Satz und unter einem Beweis versteht.
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Lösungshinweis
    Behauptung

Kurze Lösung
Satz: mathematische Aussage, die wahr oder falsch sein kann;
Beweis: Herleitung einer Aussage, die die Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser Aussage zeigt

Ausführliche Lösung
Ein Satz bezeichnet in der Mathematik eine wichtige mathematische Aussage, worunter wir zunächst informell eine Behauptung verstehen wollen, die entweder wahr oder falsch sein kann. Die Richtigkeit eines solchen Satzes ist häufig nicht so offensichtlich und muss deshalb in der Regel bewiesen werden.
Unter einem Beweis verstehen wir dabei die fehlerfreie und nachvollziehbare Herleitung einer Aussage, die in eindeutiger und unanfechtbarer Weise entweder die Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser Aussage zeigt.
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Beispielhafte Karteikarten für deinen 1. Mathematische Grundlagen Kurs an der IU Internationale Hochschule - von Kommilitonen auf StudySmarter erstellt!

Q:

Worte am Ende um Beweis abzuschließen?

A:
  • „quod erat demonstrandum“
    (q.e.d.)

  • aus lat. „was zu beweisen war“.

Q:

Zeichen für „Beweis vollständig abgeschlossen“?

A:

Q:

Wie wird A ⇒ B ausgesprochen?

A:
  • „A impliziert B“ oder „aus A folgt B“ oder „wenn A, dann B“ 

Q:

Beweis durch Widerspruch?

A:
  • indirekter Beweis, basierend auf Gesetzen der Logik
  • Es gelte Voraussetzung A und man nimmt an, B sei falsch
  • man zeigt Annahme B sei falsch, nicht stimmen kann -> B muss richtig sein
  • stützen sich: aus wahren Aussage A kann niemals falsche Aussage B folgen
Q:

Aufzählen von 5 Beweistechniken

A:
  • Direkter Beweis
  • Beweis durch Widerspruch 
  • Beweis durch Kontraposition
  • Ringschluss
  • Beweis durch vollständige Induktion
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Q:

Beweis durch Kontraposition?

A:
  • man führt einen Beweis für den negierten Ausdruck

  •  aus der Aussage „nicht B“ folgt die Aussage „nicht A“ 

  • ¬B ⇒ ¬A  und ist logisch äquivalent zu A ⇒ B

  • man nimmt an, dass ¬B gilt, und folgert daraus die Richtigkeit von ¬A

Q:
A:
  • abkürzende Schreibweise für „und“
Q:
A:
  • abkürzende Schreibweise für „oder“
Q:
Wertebereich einer Variablen? Wie wird dieser dargestellt?
A:
 Lösungshinweis
    Element aus ...

Kurze Lösung
Werte einer Variablen, x ∈ M

Ausführliche Lösung
Der Wertebereich einer Variablen bestimmt, welche Werte diese Variable annehmen kann. Um auszudrücken, dass eine Variable x nur Zahlen einer bestimmten Zahlenmenge spei- chern kann, verwenden wir die Notation x ∈ M, wobei M für eine der oben genannten Zahlenmengen steht.

Q:
Was versteht man unter einer Variablen?
A:
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    Kleinbuchstaben

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Platzhalter

Ausführliche Lösung
Hierbei handelt es sich um einen Platzhalter, der bestimmte Werte annehmen kann und für den häufig Kleinbuchstaben verwendet werden.
Q:
Worin besteht der Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen?
A:
 Lösungshinweis
    Q, R

Kurze Lösung
Rationale Zahlen als Teil der reellen Zahlen

Ausführliche Lösung
Rationale Zahlen (Q) sind alle Zahlen, die sich als Bruch p/q
mit einer ganzen Zahl p und einer natürlichen Zahl q darstellen lassen.
Reelle Zahlen (R) umfassen die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und sämtliche Zahlen mit Nachkommastellen.
Q:

Erläutern Sie, was man unter einem Satz und unter einem Beweis versteht.
A:
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    Behauptung

Kurze Lösung
Satz: mathematische Aussage, die wahr oder falsch sein kann;
Beweis: Herleitung einer Aussage, die die Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser Aussage zeigt

Ausführliche Lösung
Ein Satz bezeichnet in der Mathematik eine wichtige mathematische Aussage, worunter wir zunächst informell eine Behauptung verstehen wollen, die entweder wahr oder falsch sein kann. Die Richtigkeit eines solchen Satzes ist häufig nicht so offensichtlich und muss deshalb in der Regel bewiesen werden.
Unter einem Beweis verstehen wir dabei die fehlerfreie und nachvollziehbare Herleitung einer Aussage, die in eindeutiger und unanfechtbarer Weise entweder die Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser Aussage zeigt.
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