Finite Elemente Methode at Hochschule Osnabrück

Eine Schnittfläche heißt positiv, wenn ihre nach außen gerichtete Flächennormale in positive Koordinatenrichtung zeigt; ansonsten heißt sie negativ.

Eine positive (negative) Spannung wird an der der positiven Schnittfläche in positive (negative) Koordinatenrichtung abgetragen.

1-ter Index: Richtung der Flächennormale 

2-ter Index: Richtung der Spannung

Bei Normalspannungen lässt man oft den zweiten Index weg, also z. B. σx ≡ σxx

Die Festigkeitshypothesen treffen Annahmen über das Werkstoffverhalten und leiten daraus Beziehungen her, wie man die in einem Bauteil wirkenden Normal- und Schubspannungen in eine Vergleichsspannung σV umrechnen kann. 

Die Vergleichsspannung σV soll dabei so bemessen sein, dass die Beanspruchung der Zugprobe im genormten Zugversuch vergleichbar wird zur Beanspruchung des realen Bauteils im Betriebszustand.

Normalspannungshypothese: 

• Die größte auftretende Normalspannung, also die Hauptspannung σ1, führt zum Versagen: σV = σ1 
• Anwendung: spröder Werkstoff (z. B. Gusseisen mit Lamellengraphit, Keramik) oder sprödes Werkstoffverhalten (z. B. martensitisch gehärteter Stahl)

Gestaltänderungshypothese (von-Mises-Vergleichsspannung): 

• Die Werkstoffbeanspruchung wird durch diejenige Energie beschrieben, die zur Gestaltänderung (bei konstantem Volumen) beiträgt. Für zweiachsigen Spannungszustand gilt: σV = q σ2 x + σ2 y − σxσy + 3τ2 xy 
• Anwendung: duktiler (zäher) Werkstoff oder duktiles Werkstoffverhalten

• Geometrie: Erstellung mit Hilfe des im FE-Programm verfügbaren CAD-Moduls oder Importieren einer in einem anderen CAD-Programm erstellten Datei. 
• Material: Materialinformationen können in der CAD-Datei mit abgespeichert sein, in einer Materialdatenbank verfügbar sein oder durch Eingabe von elastizitätstheoretischen Kennwerten (E-Modul, Querdehnungszahl) und Festigkeitskennwerten (Streckgrenze, Bruchfestigkeit) erfolgen. 
• Lagerung: Dies muss durch geeignete Bedienung der GUI (graphical user interface) des Programms erfolgen
• Last: erfolgt wie bei der Lagerung durch den FE-User.

u bzw. v bzw. w

• Die meisten FE-Programmen berücksichtigen defaultmäßig nicht das Eigengewicht der Struktur (im Maschinenbau ist es gegenüber den angreifenden Lasten oft vernachlässigbar). 
• Deshalb ist die Eingabe der Dichte als weiterer Materialparameter nicht zwingend erforderlich.

• Aufteilen eines kontinuierlichen Körpers in diskrete Elemente (finite Elemente).
• Elemente sind in den Knoten miteinander verbunden; die Knoten werden mit null beginnend durchnummeriert (globale Knotennummern).
• Für die einheitliche Behandlung aller Elemente (Vorteil: Vorgehen leichter schematisierbar) wird elementweise die lokale Elementkoordinate 0 ≤ ξ ≤ 1 verwendet.
• 0: Anfangsknoten
• 1: Endknoten

Hintergrund: Zur Berechnung der Dehnung muss nach der globalen Koordinate x differenziert werden. Wegen der Einheitlichkeit wird aber auf Elementebene mit der lokalen Elementkoordinate ξ gearbeitet.

Der zwar einfache Ansatz u(ξ) = const ist unzulässig, da er zu ε= 0 und damit zu einem undehnbaren, also starren Stab führt!

• Dehnung: elementweise konstante Dehnung
• Spannung: elementweise konstant

• Randbedingungen: Die Knoten-FHGe von gelagerten Knoten sind durch den Lagertyp vorgegeben.
• Kompatibilitätsbedingungen: Am Elementübergang darf es nicht zu Klaffungen und Knicken (letzteres kann kann bei einem Zugstab nicht vorkommen) kommen.
• Bilanzgleichungen: Die Gleichgewichtsbedingungen müssen erfüllt sein.