Wirtschaftsmathe at Hochschule Für Angewandtes Management | Flashcards & Summaries

Lernmaterialien für Wirtschaftsmathe an der Hochschule für angewandtes Management

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Grenzkostenfunktion K‘(x) erklärung:

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Die Grenzkosten sind die Kosten, die zusätzlich entstehen, wenn man ein weiteres Stück produziert. Man berechnet sie, indem man die Kostenfunktion ableitet.

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Betriebsoptimum (langfristige Preisuntergenze)?

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Das Betriebsoptimum ist der Schnittpunkt zwischen der Grenzkosten- und der Stückkostenfunktion. In diesem Punkt haben die durchschnittlichen Kosten (=Stückkostenfunktion) ein Minimum.

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Betriebsminimum (kurzfristige Preisuntergenze)

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Das Betriebsminimum ist der Schnittpunkt zwischen der Grenzkosten- und der variablen Stückkostenfunktion. In diesem Punkt haben die variablen Stückkosten ein Minimum.

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Preis-Absatz und Nachfragefunktion

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• Im Allgemeinen hängt der Absatz vom Preis ab (Meist sinkt die Absatzmenge mit höheren Preisen) 

• Dieser Zusammenhang kann in zwei Funktionen dargestellt werden: 1 Preis-Absatz-Funktion p(x) (Abhängigkeit des Preises von der Stückzahl) ⇒ ” Mit welchem Preis darf ich rechnen, wenn ich eine bestimmte Menge absetzen möchte/muss?“ 2 Nachfrage-Funktion x(p) (Abhängigkeit der Stückzahl vom Preis) ⇒ ” Bei welchem Preis kann ich mit welchem Absatz rechnen? “ 

• Obige Funktionen sind mathematisch jeweils Umkehrfunktionen voneinander.

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Gegeben sei die Preis-Absatz-Funktion

p(x) = −0, 5x + 40,

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0, 5x = 40 − p ⇒ x = x(p) = 80 − 2p.

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Erlösfunktion

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Die Erlösfunktion ergibt sich aus dem Produkt der Preis-Absatzfunktion und der Stückzahl: 

E(x) = p(x) · x

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Die Preis-Absatz-Funktion ist in unserem Beispiel p(x) = 0, 0016x2 − 1, 9x + 330.

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E(x) = 0, 0016x3 − 1, 9x2 + 330x.

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Gewinnfunktion

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Die Gewinnfunktion ergibt sich also als Differenz von Erlös- und Kostenfunktion: 

G(x) = E(x) −K(x)

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Gewinnschwelle und Gewinngrenze

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Gewinnschwelle und -grenze stellen die Nullstellen der Gewinnfunkton dar. 

• Die Gewinnschwelle gibt die linksseitige (kleinere) Grenze an, das heißt ab wann tritt Gewinn ein 

• Die rechte (größere) Nullstelle wird als Gewinngrenze beze

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Gewinnmaximum:

m der Gewinnfunktion ⇒ Berechnung über N

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Gewinnmaximum ist das Maximum der Gewinnfunktion ⇒ Berechnung über Nullsetzen der ersten Ableitung

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G(x) = E(x) −K(x)

 = 0, 0016 x3 − 1, 9 x2 + 330 x − 

−(0, 0016 x3 − 0, 25 x2 + 15 x + 4200) 

Wo liegen Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnmaximum?

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Beispiel (Gewinn):

G(x) = −1, 65x2 + 315x − 4200

Beispiel (Gewinnschwellen):

G(x) = 0 Mitternachtsformel ⇔ x1 = 14, 4; x2 = 176, 5

Beispiel (Gewinnmaximum):

G(x) = −3, 3x + 315 = 0 ⇔ x = 95 G''(x) = −3, 3 < 0 ⇒ Maximum bei x = 95

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Kostenfunktion

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Die Kostenfunktion beschreibt die gesamten Herstellungskosten bei einer Produktion von x Stücken. Diese setzt sich aus variablen (Kv(x), hängen von x ab) und fixen Kosten (Kf, sind von der Stückzahl unabhängig) zusammen. 

K(x) = Kv(x) +Kf

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Q:

Grenzkostenfunktion K‘(x) erklärung:

A:

Die Grenzkosten sind die Kosten, die zusätzlich entstehen, wenn man ein weiteres Stück produziert. Man berechnet sie, indem man die Kostenfunktion ableitet.

Q:

Betriebsoptimum (langfristige Preisuntergenze)?

A:

Das Betriebsoptimum ist der Schnittpunkt zwischen der Grenzkosten- und der Stückkostenfunktion. In diesem Punkt haben die durchschnittlichen Kosten (=Stückkostenfunktion) ein Minimum.

Q:

Betriebsminimum (kurzfristige Preisuntergenze)

A:

Das Betriebsminimum ist der Schnittpunkt zwischen der Grenzkosten- und der variablen Stückkostenfunktion. In diesem Punkt haben die variablen Stückkosten ein Minimum.

Q:

Preis-Absatz und Nachfragefunktion

A:

• Im Allgemeinen hängt der Absatz vom Preis ab (Meist sinkt die Absatzmenge mit höheren Preisen) 

• Dieser Zusammenhang kann in zwei Funktionen dargestellt werden: 1 Preis-Absatz-Funktion p(x) (Abhängigkeit des Preises von der Stückzahl) ⇒ ” Mit welchem Preis darf ich rechnen, wenn ich eine bestimmte Menge absetzen möchte/muss?“ 2 Nachfrage-Funktion x(p) (Abhängigkeit der Stückzahl vom Preis) ⇒ ” Bei welchem Preis kann ich mit welchem Absatz rechnen? “ 

• Obige Funktionen sind mathematisch jeweils Umkehrfunktionen voneinander.

Q:

Gegeben sei die Preis-Absatz-Funktion

p(x) = −0, 5x + 40,

A:

0, 5x = 40 − p ⇒ x = x(p) = 80 − 2p.

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Q:

Erlösfunktion

A:

Die Erlösfunktion ergibt sich aus dem Produkt der Preis-Absatzfunktion und der Stückzahl: 

E(x) = p(x) · x

Q:

Die Preis-Absatz-Funktion ist in unserem Beispiel p(x) = 0, 0016x2 − 1, 9x + 330.

A:

E(x) = 0, 0016x3 − 1, 9x2 + 330x.

Q:

Gewinnfunktion

A:

Die Gewinnfunktion ergibt sich also als Differenz von Erlös- und Kostenfunktion: 

G(x) = E(x) −K(x)

Q:

Gewinnschwelle und Gewinngrenze

A:

Gewinnschwelle und -grenze stellen die Nullstellen der Gewinnfunkton dar. 

• Die Gewinnschwelle gibt die linksseitige (kleinere) Grenze an, das heißt ab wann tritt Gewinn ein 

• Die rechte (größere) Nullstelle wird als Gewinngrenze beze

Q:

Gewinnmaximum:

m der Gewinnfunktion ⇒ Berechnung über N

A:

Gewinnmaximum ist das Maximum der Gewinnfunktion ⇒ Berechnung über Nullsetzen der ersten Ableitung

Q:

G(x) = E(x) −K(x)

 = 0, 0016 x3 − 1, 9 x2 + 330 x − 

−(0, 0016 x3 − 0, 25 x2 + 15 x + 4200) 

Wo liegen Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnmaximum?

A:

Beispiel (Gewinn):

G(x) = −1, 65x2 + 315x − 4200

Beispiel (Gewinnschwellen):

G(x) = 0 Mitternachtsformel ⇔ x1 = 14, 4; x2 = 176, 5

Beispiel (Gewinnmaximum):

G(x) = −3, 3x + 315 = 0 ⇔ x = 95 G''(x) = −3, 3 < 0 ⇒ Maximum bei x = 95

Q:

Kostenfunktion

A:

Die Kostenfunktion beschreibt die gesamten Herstellungskosten bei einer Produktion von x Stücken. Diese setzt sich aus variablen (Kv(x), hängen von x ab) und fixen Kosten (Kf, sind von der Stückzahl unabhängig) zusammen. 

K(x) = Kv(x) +Kf

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