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Lernmaterialien für Numerik an der Fachhochschule Münster

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TESTE DEIN WISSEN

Nenne Vektor Normen

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TESTE DEIN WISSEN
  • Betragssummennorm
  • Euklische Norm
  • Maximumnorm
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TESTE DEIN WISSEN

Nenne Matrix Normen

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TESTE DEIN WISSEN
  • Spaltensummennorm
  • Spektralnorm
  • Zeilensummennorm
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TESTE DEIN WISSEN

Was ist ein Spektralradius?

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TESTE DEIN WISSEN

Spektralradius ist maximum der Beträge einer Matrix (von oben nach unten addieren)

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TESTE DEIN WISSEN

 


  1. Für eine gegebene Matrix A berechnen zwei Personen unabhängig voneinander unterschiedliche Konditionszahlen cond(A).


 


  1. Wie ist die Kondition einer Matrix definiert?


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TESTE DEIN WISSEN

Konditionszahl der Matrix A bzgl. Der verwendeten Normen:

𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴)∶=‖𝐴‖*‖𝐴−1‖ 

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  1. Für eine gegebene Matrix A berechnen zwei Personen unabhängig voneinander unterschiedliche Konditionszahlen cond(A).


  1. Ist es möglich, dass beide Personen jeweils die Konditionszahl korrekt bestimmt haben? (Begründung)


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TESTE DEIN WISSEN

Ja, da unterschiedliche Normen verwendet werden können

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  1. Was versteht man unter „Vorwärtseinsetzen“? Welche Struktur hat die zugehörige Matrix A?


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TESTE DEIN WISSEN

Normale Gauß ist Rückwärtseinsetzen

Auflösung von unten nach oben: Rückwärtseinsetzen: 

Immer möglich, wenn 𝐴 eine rechts-obere Dreiecksmatrix ist.


  • Analog dazu Vorwärtseinsetzen


Linksdreiecksmatrix: 1. Zeile Start, 2. Zeile….

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TESTE DEIN WISSEN


  1. Was versteht man unter einem Anfangswertproblem? Geben Sie –wenn möglich- ein Beispiel.


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TESTE DEIN WISSEN

Randbedingung für Bestimmung (Lösung) Integrationskonstanten notwendig

Anfangsproblem: Bedingungen , z.B. freier Fall, Biegebalken, Bedingungen für einen Ort gegeben xo

Randwert: Bedingungen an mehreren Stellen x1 und x2

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TESTE DEIN WISSEN


  1. Beschreiben Sie die Grundidee der Kollokationsverfahren, Was ist der Unterschied zu den direkten Verfahren zur Lösung einer Differenzialgleichung?


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TESTE DEIN WISSEN

Fehler soll minimiert werden. An bestimmten Stellen wird erzwungen, dass Fehler Null wird

Simpel, nur ein Kollokationspunkt wird berechnet

Näherungslösung wird in Problem eingesetzt -> Fehlerresiduum soll möglichst klein gemacht werden

An gewissen Stellen wird erzwungen, dass Fehler 0 ist. Gleichungssystem -> Freie Faktoren werden errechnet

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TESTE DEIN WISSEN


  1. Welcher wesentliche Unterschied besteht zwischen dem Verfahren von Ritz und der Finiten-Elemente-Methode (FEM)?


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TESTE DEIN WISSEN

Verfahren von Ritz ist Grundidee: Ansatz für gesamtes Gebiet wird betrachtet, Gesamtstruktur, Gesamtes Gebiet wird mit einem Ansatz betrachtet, einfache Struktur

Finite Elementen Methode: Einteilung in kleinere Elemente, Einteilung des Gebietes und Ansatz für jedes Gebiet neu

 

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TESTE DEIN WISSEN


  1. Benennen Sie den Unterschied zwischen „Ansatzfunktion“ und „Normfunktion“.


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TESTE DEIN WISSEN

Ansatzfunktion: lineare Funktion, quadratische…., Parameter haben keine Bedeutung


Normfunktion:  physikalisch nachvollziebar, Ansatz, Parameter haben Bedingunen -> Ansatz von oben umrechnen Temp, Physikalisch interpretierbare Größen sind gewünscht, Quadratischer, linearer… Ansatz muss umgerechnet werden

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TESTE DEIN WISSEN

Was versteht man unter Algoritmus in der Numerisichen Mathematik?

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TESTE DEIN WISSEN

Eine genau eingebbare Folge einzelner elementarer Operationen, die auf die zugelassenen Eingabedaten angewandt, nach endlich vielen Schritten einen Satz von Ausgabedaten erzeugt

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TESTE DEIN WISSEN

Welche Numerische Lösungsverfahren gibt bei Gleichungssystemen

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TESTE DEIN WISSEN

Direkte Verfahren: endlich viele äquivaliente Umformungen liefern exakte Lösung


Iterative Verfahren: Erzeugen von Lösungsvektoren, die gegen exakte Lösung kovergieren

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Q:

Nenne Vektor Normen

A:
  • Betragssummennorm
  • Euklische Norm
  • Maximumnorm
Q:

Nenne Matrix Normen

A:
  • Spaltensummennorm
  • Spektralnorm
  • Zeilensummennorm
Q:

Was ist ein Spektralradius?

A:

Spektralradius ist maximum der Beträge einer Matrix (von oben nach unten addieren)

Q:

 


  1. Für eine gegebene Matrix A berechnen zwei Personen unabhängig voneinander unterschiedliche Konditionszahlen cond(A).


 


  1. Wie ist die Kondition einer Matrix definiert?


A:

Konditionszahl der Matrix A bzgl. Der verwendeten Normen:

𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴)∶=‖𝐴‖*‖𝐴−1‖ 

Q:


  1. Für eine gegebene Matrix A berechnen zwei Personen unabhängig voneinander unterschiedliche Konditionszahlen cond(A).


  1. Ist es möglich, dass beide Personen jeweils die Konditionszahl korrekt bestimmt haben? (Begründung)


A:

Ja, da unterschiedliche Normen verwendet werden können

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Q:


  1. Was versteht man unter „Vorwärtseinsetzen“? Welche Struktur hat die zugehörige Matrix A?


A:

Normale Gauß ist Rückwärtseinsetzen

Auflösung von unten nach oben: Rückwärtseinsetzen: 

Immer möglich, wenn 𝐴 eine rechts-obere Dreiecksmatrix ist.


  • Analog dazu Vorwärtseinsetzen


Linksdreiecksmatrix: 1. Zeile Start, 2. Zeile….

Q:


  1. Was versteht man unter einem Anfangswertproblem? Geben Sie –wenn möglich- ein Beispiel.


A:

Randbedingung für Bestimmung (Lösung) Integrationskonstanten notwendig

Anfangsproblem: Bedingungen , z.B. freier Fall, Biegebalken, Bedingungen für einen Ort gegeben xo

Randwert: Bedingungen an mehreren Stellen x1 und x2

Q:


  1. Beschreiben Sie die Grundidee der Kollokationsverfahren, Was ist der Unterschied zu den direkten Verfahren zur Lösung einer Differenzialgleichung?


A:

Fehler soll minimiert werden. An bestimmten Stellen wird erzwungen, dass Fehler Null wird

Simpel, nur ein Kollokationspunkt wird berechnet

Näherungslösung wird in Problem eingesetzt -> Fehlerresiduum soll möglichst klein gemacht werden

An gewissen Stellen wird erzwungen, dass Fehler 0 ist. Gleichungssystem -> Freie Faktoren werden errechnet

Q:


  1. Welcher wesentliche Unterschied besteht zwischen dem Verfahren von Ritz und der Finiten-Elemente-Methode (FEM)?


A:

Verfahren von Ritz ist Grundidee: Ansatz für gesamtes Gebiet wird betrachtet, Gesamtstruktur, Gesamtes Gebiet wird mit einem Ansatz betrachtet, einfache Struktur

Finite Elementen Methode: Einteilung in kleinere Elemente, Einteilung des Gebietes und Ansatz für jedes Gebiet neu

 

Q:


  1. Benennen Sie den Unterschied zwischen „Ansatzfunktion“ und „Normfunktion“.


A:

Ansatzfunktion: lineare Funktion, quadratische…., Parameter haben keine Bedeutung


Normfunktion:  physikalisch nachvollziebar, Ansatz, Parameter haben Bedingunen -> Ansatz von oben umrechnen Temp, Physikalisch interpretierbare Größen sind gewünscht, Quadratischer, linearer… Ansatz muss umgerechnet werden

Q:

Was versteht man unter Algoritmus in der Numerisichen Mathematik?

A:

Eine genau eingebbare Folge einzelner elementarer Operationen, die auf die zugelassenen Eingabedaten angewandt, nach endlich vielen Schritten einen Satz von Ausgabedaten erzeugt

Q:

Welche Numerische Lösungsverfahren gibt bei Gleichungssystemen

A:

Direkte Verfahren: endlich viele äquivaliente Umformungen liefern exakte Lösung


Iterative Verfahren: Erzeugen von Lösungsvektoren, die gegen exakte Lösung kovergieren

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