Math B at Ecole Nationale Supérieure D'Arts Et Métiers De Paris | Flashcards & Summaries

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TESTE DEIN WISSEN
Lien entre matrice symétrique et diagonale
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Une matrice symétrique est toujours diagonalisable
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
(AB)ᵀ
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
BᵀAᵀ
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schimdt
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
(u₁, u₂, u₃) famille libre 
(v₁, v₂, v₃) famille orthogonale

  • On pose v₁ = u₁

  • On pose v₂ = u₂ + α.v₁ 
On veut < v₂, v₁ >

  • On pose v₃ = u₃ + α.v₁ + β.v₂
On veut < v₃, v₁ >
On veut < v₃, v₂ >
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Étude d’isométrie :
Cas det(M) > 0
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TESTE DEIN WISSEN
  • Les vecteurs invariants ker(M-I₃) forment l’axe de rotation u

  • On cherche l’angle de rotation au signe près avec tr(M) = 2.cos θ + 1

  • On prend v ⊥ u et on calcule M.v, c’est-à-dire ϕ(v)

  • Enfin, v ∧ ϕ(v) = ||v||.||ϕ(v)||.sin(θ).u 

  • On déduit le sens de θ avec sin θ
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Hyperplan
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TESTE DEIN WISSEN
Pour un espace fini de dim n
Hyperplan = sev de dim n-1
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
f : E → F
Image de f
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Im f = f(E)
Ensemble des images de E par f

Im f = F  ⇔  f est surjective
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
f  bijective de E dans F
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Il existe u : F → E 
u ∘ f = id 
f ∘ u = id 
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Matrice nilpotente 
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Matrice carrée C telle qu’il existe Cᵖ = 0
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TESTE DEIN WISSEN
Équation cartésienne d’une droite dans le plan
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Si, ax + by + c = 0

Le vecteur (a, b) est normal à la droite
Le vecteur (-b, a) est directeur
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Matrice A inversible ssi 
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
det A ≠ 0
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TESTE DEIN WISSEN
Équation cartésienne d’un plan passant par un point et dirigé par deux vecteurs
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Soit, 
A (xₐ, yₐ, zₐ)
u (u₁, u₂, u₃)
v (v₁, v₂, v₃)

Le plan a pour équation :

[AM, u, v] = 0
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Endomorphisme de E
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TESTE DEIN WISSEN
Application linéaire f : E → E
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Q:
Lien entre matrice symétrique et diagonale
A:
Une matrice symétrique est toujours diagonalisable
Q:
(AB)ᵀ
A:
BᵀAᵀ
Q:
Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schimdt
A:
(u₁, u₂, u₃) famille libre 
(v₁, v₂, v₃) famille orthogonale

  • On pose v₁ = u₁

  • On pose v₂ = u₂ + α.v₁ 
On veut < v₂, v₁ >

  • On pose v₃ = u₃ + α.v₁ + β.v₂
On veut < v₃, v₁ >
On veut < v₃, v₂ >
Q:
Étude d’isométrie :
Cas det(M) > 0
A:
  • Les vecteurs invariants ker(M-I₃) forment l’axe de rotation u

  • On cherche l’angle de rotation au signe près avec tr(M) = 2.cos θ + 1

  • On prend v ⊥ u et on calcule M.v, c’est-à-dire ϕ(v)

  • Enfin, v ∧ ϕ(v) = ||v||.||ϕ(v)||.sin(θ).u 

  • On déduit le sens de θ avec sin θ
Q:
Hyperplan
A:
Pour un espace fini de dim n
Hyperplan = sev de dim n-1
Mehr Karteikarten anzeigen
Q:
f : E → F
Image de f
A:
Im f = f(E)
Ensemble des images de E par f

Im f = F  ⇔  f est surjective
Q:
f  bijective de E dans F
A:
Il existe u : F → E 
u ∘ f = id 
f ∘ u = id 
Q:
Matrice nilpotente 
A:
Matrice carrée C telle qu’il existe Cᵖ = 0
Q:
Équation cartésienne d’une droite dans le plan
A:
Si, ax + by + c = 0

Le vecteur (a, b) est normal à la droite
Le vecteur (-b, a) est directeur
Q:
Matrice A inversible ssi 
A:
det A ≠ 0
Q:
Équation cartésienne d’un plan passant par un point et dirigé par deux vecteurs
A:
Soit, 
A (xₐ, yₐ, zₐ)
u (u₁, u₂, u₃)
v (v₁, v₂, v₃)

Le plan a pour équation :

[AM, u, v] = 0
Q:
Endomorphisme de E
A:
Application linéaire f : E → E
Math B

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