Mathe für die Informatik B at Christian-Albrechts-Universität zu Kiel

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Determinante einer Matrix über elementare Umformungen:

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Abbildungsvorschrift

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Distributivität

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(Polynom)

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Polynomfunktion.

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Nullstellen

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Nullstellen: Sei (K,+, ·,0,1) ein Körper. Sei p(X) ∈ K[X] mit deg(p(X)) ≥
1

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Die Verknüpfung

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Welchen Wert i in den Komplexen Zahlen

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Polynome aus C[X]

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Lösungsmenge

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Inventierbarkeit von Matrix

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Mathe für die Informatik B

Determinante einer Matrix über elementare Umformungen:

A)  Addition: keine Korrektur nötig


V)  Vertauschen: VZ wechsel


M)  Multiplikation (mit a) : *1/a

Mathe für die Informatik B

Abbildungsvorschrift

f : M→N, x → f(x),

Mathe für die Informatik B

Distributivität

Sei M eine Menge. Seien ∗ und ◦ Verknüpfungen
aufM. Dann heißt ∗ distributiv über ◦, falls die folgenden Aussagen gelten:
∀a,b,c ∈M : a∗ (b◦c) = (a∗b) ◦ (a∗c),
∀a,b,c ∈M : (a◦b) ∗c = (a∗c) ◦ (b∗c).

Mathe für die Informatik B

(Polynom)

Seien (R,+, ·,0R) ein kommutativer Ring und sei X eine Unbekannte. Seien weiter
n ∈ N und a0, . . . ,an ∈ R und definiere den formalen Ausdruck
n
p(X) := a0 +a1X+. . .+anXn = ∑aiXi.
i=0
(a) Der Ausdruck p heißt Polynom (über R). Die Elemente a0, . . . ,an heißen Koef-
fizienten von p(X).
(b) Die Menge aller Polynome über R bezeichnen wir mit R[X]. (Sprich: „R adjun-
giert X.“)
(c) Sind nicht alle Koeffizienten a0, . . . ,an gleich 0R, so nennen wir
deg(p(X)) := max{k ∈ {0, . . . ,n} | ak = 0R }
den Grad von p(X) und adeg(p(X)) den höchsten Koeffizienten von p(X).
(d) Sind alle Koeffizienten a0, . . . ,an gleich 0R und damit p(X) das sogenannte
Nullpolynom, so definieren wir den Grad von p(X) durch
deg(p(X)) = deg(0R) :=−∞.

Mathe für die Informatik B

Polynomfunktion.

Sei (R,+, ·,0) ein kommutativer Ring und p(X) :=∑n
R[X]. Dann nennen wir
p : R→R, x → ∑aix^i,
die zu p(X) gehörige Polynomfunktion.

Mathe für die Informatik B

Nullstellen

Seien (K,+, ·,0,1) ein Körper und p(X) ∈ K[X]. Ein
Element a ∈ K heißt Nullstelle von p(X) oder Nullstelle von p, falls p(a) = 0 für
die zu p(X) gehörige Polynomfunktion p gilt.

Mathe für die Informatik B

Nullstellen: Sei (K,+, ·,0,1) ein Körper. Sei p(X) ∈ K[X] mit deg(p(X)) ≥
1

(a) Ist a ∈ K eine Nullstelle von p(X), so gibt es genau ein q(X) ∈ K[X] mit
p(X) = (X−a) · q(X).
Für dieses q(X) gilt deg(q(X)) = deg(p(X))−1.
(b) Das Polynom p(X) hat höchstens deg(p(X)) Nullstellen.

Mathe für die Informatik B

Die Verknüpfung

⊕ : R2 ×R2 →R2, (a,b)⊕(c,d) := (a+c,b+d).
macht (R2,⊕, (0,0)) zu einer abelschen Gruppe.

Mathe für die Informatik B

Welchen Wert i in den Komplexen Zahlen

Wurzel aus -1

Mathe für die Informatik B

Polynome aus C[X]

(a) Polynome aus C[X] mit Grad 2 haben immer zwei (möglicherweise gleiche)
Nullstellen.

(b) Für ein Polynom vom Grad 2 mit reellen Koeffizienten lassen sich die kom-
plexen Nullstellen mit der „pq-Formel“ berechnen, Real- und Imaginärteil
der Nullstellen erhält man über Definition 1.6.15 (siehe auch nochmals
Übung 1.6.14).

Mathe für die Informatik B

Lösungsmenge

Die Lösungsmenge von Ax= b ist

L(A,b) = {A^-1 b} = alle x, für die gilt: Ax =b

Mathe für die Informatik B

Inventierbarkeit von Matrix

A ist invertierbar in Mn,n(R). D. h., dass es eine Matrix A^−1 ∈M n,n(R) mit A^−1A= AA^−1 = I gibt, wobei I das Einselement in Mn,n(R) ist.

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