Lernmaterialien für Multivariate Verfahren an der Bergische Universität Wuppertal

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TESTE DEIN WISSEN

Maße der Streuung (Ab Ordinalskalenniveau): Standardabweichung

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TESTE DEIN WISSEN

- Quadratwurzel aus Varianz

- Die Quadrierung der Abstände vom Mittelwert führt zu folgenden Eigenschaften:

1. Abstände können sich nicht zu Null aufaddieren (quadrierte Werte sind immer positiv)

2. Größere Abstände vom mittelwert werden stärker gewichtet

3. Die Maßeinheit quadriert sich (durch das Ziehen der Wurzel wird ursprüngliche Maßeinheit wiederhergestellt)

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TESTE DEIN WISSEN

Stichprobe: Erwartungstreuer Schätzer

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TESTE DEIN WISSEN

Der Mittelwert einer Stichprobe ist ein sog. erwartungstreuer Schätzer des Populationsmittelwertes

- Zieht man sehr häufig Stichproben aus derselben Grundgesamtheit verteilen sich die Stichprobenmittelwerte um ihren Erwartungswert

- Erwartungstreue Schätzung bedeutet dass der Erwartungswert mit dem Mittelwert der Grundgesamtheit identisch ist

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TESTE DEIN WISSEN

Diskriminanzanalyse: Beispielhafter Ablauf (Hotelbuchungen Beispiel)

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TESTE DEIN WISSEN

SPSS Ausgaben:

- "Funktion bei Gruppenzentroiden"

> Werte der Diskriminanzfunktion bei den Zentroiden

> Mittelwert der beiden Werte als Trennwert zwischen den Gruppen verwenden

- "Struktur Matrix"

> Ladungen der Variablen auf die Funktionen

> Der größere Wert (Vorzeichen unbedeutend) zeigt die Ladung auf die jeweilige Funktion an

- "Wilkˋs Lambda"

> Kann in einen Chi2 Wert umgerechnet und auf Signifikanz getestet werden

- Signifikanz mit p=.001 gegeben

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TESTE DEIN WISSEN

Deskriptive Statistik

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TESTE DEIN WISSEN

- Beschreibende Statistik

- Beschäftigt sich mit Kennwerten (bsp. Mittelwert, Varianz) einer Stichprobe

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Varianz

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TESTE DEIN WISSEN

- Teilt man die Quadratsumme durch die Anzahl der Werte erhält man die Varianz

- Sie ist der Parameter für das Ausmaß der Variablität der Werte

- Da sie eine Quadrierung enthält wird meist die Standardabweichung vorgezogen/verwendet

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TESTE DEIN WISSEN

Stichprobe

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TESTE DEIN WISSEN

- Die Kennwerte der Population (=Grundgesamtheit aus der die Stichprobe bezogen wird) werden auf der Basis der Stichprobendaten geschätzt

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TESTE DEIN WISSEN

Standardabweichung (SD; Standard Devitation)

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TESTE DEIN WISSEN

- Sie ist die Wurzel der Varianz

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TESTE DEIN WISSEN

Freiheitsgrade: Varianz

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TESTE DEIN WISSEN

- Im Kern der Berechnung der Varianz stehen Abweichungen der Einzelwerte von Mittelwerten

- Da die Summe der Abweichungen vom Mittelwert immer Null beträgt können nur n-1 Werte variieren

- Sind n-1 Einzelwerte und der Mittelwert bekannt ist der n-te Wert festgelegt

- Die Varianz hat somit n-1 Freiheitsgrade

- Führt häufig dazu dass kein Unterschied zwischen unkorrigierter Varianz (Quadratsumme/n) und dem erwartungstreuen Schätzer gemacht wird

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TESTE DEIN WISSEN

Lineare Transformation & z-Standardisierung

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TESTE DEIN WISSEN

- Der Rohwert minus den Mittelwerten des Rohwertes geteilt durch die Standardabweichung der Rohwerte ergibt die Lineare Transformation

- Erhaltene Werte verteilen sich nun um den Mittelwert 0 (M=0) mit der Standardabweichung 1 (SD=1)

- Gebräuchliche statistische Testverfahren sind invariant ggü. linearen Transformationen (d.h. statistische Tests ergeben dasselbe Ergebnis für verschiedene lineare Transformationen der Originalwerte)

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TESTE DEIN WISSEN

Stichprobe: Standardabweichung

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TESTE DEIN WISSEN

- Die Populationschätzung der Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz

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TESTE DEIN WISSEN

Freiheitsgrade: Mittelwert

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TESTE DEIN WISSEN

- In den Mittelwert gehen n zufällig gezogene Werte ein

- Selbst wenn n-1 Werte bekannt sind ist n-te Wert unbekannt

- Somit hat der Mittelwert n Freiheitsgrade

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TESTE DEIN WISSEN

Stichprobenvarianz

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TESTE DEIN WISSEN

- Ist die mittlere Quadratsumme (keine erwartungsgetreue Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit)

- Die erwartungstreue Schätzung der Stichprobenvarianz kommt zustande wenn die Quadratsumme durch n (Stichprobengröße) minus 1 geteilt wird

- Die Varianz hat also n-1 Freiheitsgrade

- Um zu bestimmen in welcher Beziehung Stichprobenkennwerte zu Populationskennwertenstehen muss feststehen wie viele Werte die in Berechnung des Stichprobenkennwertes eingehen zufällig variieren können

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Maße der Streuung (Ab Ordinalskalenniveau): Standardabweichung

- Quadratwurzel aus Varianz

- Die Quadrierung der Abstände vom Mittelwert führt zu folgenden Eigenschaften:

1. Abstände können sich nicht zu Null aufaddieren (quadrierte Werte sind immer positiv)

2. Größere Abstände vom mittelwert werden stärker gewichtet

3. Die Maßeinheit quadriert sich (durch das Ziehen der Wurzel wird ursprüngliche Maßeinheit wiederhergestellt)

Stichprobe: Erwartungstreuer Schätzer

Der Mittelwert einer Stichprobe ist ein sog. erwartungstreuer Schätzer des Populationsmittelwertes

- Zieht man sehr häufig Stichproben aus derselben Grundgesamtheit verteilen sich die Stichprobenmittelwerte um ihren Erwartungswert

- Erwartungstreue Schätzung bedeutet dass der Erwartungswert mit dem Mittelwert der Grundgesamtheit identisch ist

Diskriminanzanalyse: Beispielhafter Ablauf (Hotelbuchungen Beispiel)

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- "Funktion bei Gruppenzentroiden"

> Werte der Diskriminanzfunktion bei den Zentroiden

> Mittelwert der beiden Werte als Trennwert zwischen den Gruppen verwenden

- "Struktur Matrix"

> Ladungen der Variablen auf die Funktionen

> Der größere Wert (Vorzeichen unbedeutend) zeigt die Ladung auf die jeweilige Funktion an

- "Wilkˋs Lambda"

> Kann in einen Chi2 Wert umgerechnet und auf Signifikanz getestet werden

- Signifikanz mit p=.001 gegeben

Deskriptive Statistik

- Beschreibende Statistik

- Beschäftigt sich mit Kennwerten (bsp. Mittelwert, Varianz) einer Stichprobe

Varianz

- Teilt man die Quadratsumme durch die Anzahl der Werte erhält man die Varianz

- Sie ist der Parameter für das Ausmaß der Variablität der Werte

- Da sie eine Quadrierung enthält wird meist die Standardabweichung vorgezogen/verwendet

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Stichprobe

- Die Kennwerte der Population (=Grundgesamtheit aus der die Stichprobe bezogen wird) werden auf der Basis der Stichprobendaten geschätzt

Standardabweichung (SD; Standard Devitation)

- Sie ist die Wurzel der Varianz

Freiheitsgrade: Varianz

- Im Kern der Berechnung der Varianz stehen Abweichungen der Einzelwerte von Mittelwerten

- Da die Summe der Abweichungen vom Mittelwert immer Null beträgt können nur n-1 Werte variieren

- Sind n-1 Einzelwerte und der Mittelwert bekannt ist der n-te Wert festgelegt

- Die Varianz hat somit n-1 Freiheitsgrade

- Führt häufig dazu dass kein Unterschied zwischen unkorrigierter Varianz (Quadratsumme/n) und dem erwartungstreuen Schätzer gemacht wird

Lineare Transformation & z-Standardisierung

- Der Rohwert minus den Mittelwerten des Rohwertes geteilt durch die Standardabweichung der Rohwerte ergibt die Lineare Transformation

- Erhaltene Werte verteilen sich nun um den Mittelwert 0 (M=0) mit der Standardabweichung 1 (SD=1)

Stichprobe: Standardabweichung

- Die Populationschätzung der Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz

Freiheitsgrade: Mittelwert

- In den Mittelwert gehen n zufällig gezogene Werte ein

- Selbst wenn n-1 Werte bekannt sind ist n-te Wert unbekannt

- Somit hat der Mittelwert n Freiheitsgrade

Stichprobenvarianz

- Ist die mittlere Quadratsumme (keine erwartungsgetreue Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit)

- Die erwartungstreue Schätzung der Stichprobenvarianz kommt zustande wenn die Quadratsumme durch n (Stichprobengröße) minus 1 geteilt wird

- Die Varianz hat also n-1 Freiheitsgrade

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